Методы расчета линейных электрических цепей
Закон Ома – падение напряжения на элементе равно произведению величины сопротивления этого элемента на величину тока, протекающего через него.
Первый закон Кирхгофа – сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.
Второй закон Кирхгофа – в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений источников электрической энергии равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах контура. При обходе контура в произвольно выбранном направлении значения напряжений берутся с плюсом, если направление обхода контура и направления напряжений совпадают и берутся с минусом, если этого совпадения нет.
Расчет методом эквивалентного преобразования
Этот метод применяется для не очень сложных пассивных электрических цепей, такие цепи встречаются довольно часто, и поэтому этот метод находит широкое применение. Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется (“сворачивается”) до одного эквивалентного элемента, как это показано на рис. 1.13, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме (“разворачивание”) с последовательным определением токов и напряжений.
1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.
2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения в соответствии с п. 1.
3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.
4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.
5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.
Рассмотрим этот метод на примере (рис. 1.15). В исходной схеме расставляем условно–положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах. Нетрудно согласиться, что под действием источника E с указанной полярностью направление токов и напряжений такое, какое показано стрелками. Для удобства дальнейшего пояснения метода, обозначим на схеме узлы а и б. При обычном расчете это можно не делать.
Далее осуществляем последовательно эквивалентное преобразование схемы. Вначале объединяем параллельно соединенные элементы, и находим (рис. 1.15, б):
Затем, объединяя все последовательно соединенные элементы, завершаем эквивалентное преобразование схемы (рис. 1.15, в):
В последней схеме (рис. 1.15, в) находим ток I1:
Теперь возвращаемся к предыдущей схеме (рис. 1.15, б). Видим, что найдCенный ток I1 протекает через R1, R2,3, R4 и создает на них падение напряжения. Найдем эти напряжения:
.Возвращаясь к исходной схеме (рис. 1.15, а), видим, что найденное напряжениеUаб прикладывается к элементам R2 и R3.
Значит, можем записать, чтоU2 = U3 = Uа,б
Токи в этих элементах находят из совершенно очевидных соотношений:
Итак, схема рассчитана.
расчет с помощью законов кирхгофа
Этот метод наиболее универсален и применяется для расчета любых цепей. при расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов кирхгофа. так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. число ветвей принято обозначать через n. часть этих уравнений записываются по первому закону кирхгофа, а часть – по второму закону кирхгофа. все полученные уравнения должны быть независимыми. это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. при составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров. рассмотрим эти понятия.
независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. если число узлов обозначим через к, то число независимых узлов равно (к–1). на схеме (рис. 1.16) из двух узлов только один независим.
независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. в противном случае такой контур называется зависимым.
если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно [n – (к–1)].
в схеме (рис. 1.16) всего три контура, но только два независимых контура, а третий – зависим. выделять независимые контура можно произвольно, т. е. в качестве независимых контуров можно выбрать при первом расчете одни, а при втором расчете (повторном) – другие, которые раньше были зависимыми. результаты расчета будут одинаковыми.
если по первому закону кирхгофа составить уравнения для (к–1) независимых узлов, а по второму закону кирхгофа составить уравнения для [n – (к–1)] независимых контуров, то общее число уравнений будет равно:
Это означает, что для расчёта имеется необходимое число уравнений.
1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.
2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).
3. Выбираем независимые узлы и независимые контура.
4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К–1) уравнений для независимых узлов.
5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n – (К–1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.
6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.
7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.
Рассмотрим последовательность расчета на примере схемы, приведенной на рис. 1.16. Учитывая направление источника E, расставляем условно–положительные направления токов и напряжений. В схеме три ветви, поэтому нам необходимо составить три уравнения. В схеме два узла, следовательно, из них только один независимый. В качестве независимого узла выберем узел 1. Для него запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:
I1 = I2 + I3.
Далее необходимо составить два уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме всего три контура, но независимых только два. В качестве независимых контуров выберем контур из элементов E–R1–R2 и контур из элементов R2– R3. Обходя эти два контура по направлению движения часовой стрелки, записываем следующие два уравнения:
Решаем полученные три уравнения и определяем токи в ветвях. Затем через найденные токи по закону Ома определяем падения напряжений на всех элементах цепи.
расчет методом контурных токов
Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений.
Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:
– собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;
– общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.
Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n – (К–1)].
Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рис. 1.17), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.
1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n – (К–1)].
2. Выбирается [n – (К–1)] не зависимых контура.
3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).
4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.
5. Решается система из [n – (К–1)] уравнений и находятся контурные токи.
6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:
– в собственных элементах контура ток равен контурному току;
– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.
Рассмотрим в общем виде применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рис. 1.17.
В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов Iк1 и Iк2. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:
.
Решив эту систему уравнений, находим контурные токи Iк1 и Iк2. Затем определяем токи в ветвях:
РАСЧЕТ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ
Метод применяется для расчета цепей, содержащих несколько (два и более) источников электрической энергии. Подчеркнем, что этот метод применим для расчета только линейных цепей. Метод основывается на том положении, что в каждой ветви цепи ток равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником. Следовательно, необходимо определить токи, создаваемые каждым источником в отдельности, а затем их просуммировать с учетом направлений.
1. В электрической цепи оставляют только один источник ЭДС. Вместо исключенного источника ЭДС ставится или резистор, величина которого равна величине внутреннего сопротивления источника ЭДС, или перемычка, если внутреннее сопротивление источника равно нулю.
2. Определяются токи во всех ветвях, создаваемые этим источником ЭДС.
3. Оставляется в цепи следующий источник ЭДС, а с остальными поступают аналогично тому, как сказано в п. 1.
4. Определяются токи в цепи, создаваемые вторым источником ЭДС.
5. Аналогично поступают с оставшимися источниками.
6. Истинные токи в ветвях цепи определяются как алгебраическая сумма токов в этих ветвях, созданных каждым из источников.
Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 1.18, методом наложения. Будем считать, что внутренние сопротивления источников ЭДС равны нулю.
В начале оставляем источник E1, а источник E2 убирается и в место него ставится перемычка (рис. 1.18, б). В полученной схеме находим токи методом эквивалентного преобразования:
Затем оставляем только источник E2, а вместо E1 ставится перемычка (рис. 1.18, в). В полученной схеме определяем токи в ветвях также методом эквивалентного преобразования:
Находим действительные токи в исходной схеме (рис. 1.18, а) алгебраическим суммированием найденных токов.
Ток I2 равен сумме токов I21 и I22, т. к. они совпадают по направлению:
Контрольная работа: Расчет тока в линейных проводах и разветвленной цепи
Название: Расчет тока в линейных проводах и разветвленной цепи Раздел: Рефераты по физике Тип: контрольная работа Добавлен 11:09:24 15 ноября 2010 Похожие работы Просмотров: 6564 Комментариев: 13 Оценило: 2 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно Скачать | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если в резисторе не происходит химических реакций, то мощность выделяется в форме тепла, согласно известному закону Джоуля.
|
где:
I — постоянный ток (А), протекающий через резистор;
PП — мощность потерь, измеряемая в ваттах (Вт);
R — сопротивление резистора (Ом).
Равенство выражений мощностей источников и мощностей приемников называется уравнением баланса мощностей.
План составления баланса мощностей
1. Если в цепи есть источники тока, то следует любым методом найти напряжения на зажимах источников тока Uk.
Цепи с источником тока |
2. вычислить мощность источников.
|
3.
где:
N — количество источников тока в цепи;
M — количество источников ЭДС в цепи;
Uk — напряжение на источниках тока Jk;
| — | алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых, для которых направления ЭДС Еk и соответствующего тока Ik совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно; | |||
| — | алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых, для которых направление напряжения на зажимах источника тока Uk и направление его тока Jk во внешней цепи совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно. |
4. вычислить мощность, расходуемую в приемниках.
|
L | — | количество приемников в цепи; | |||
| — | арифметическая сумма, здесь должны быть учтены как внешние резисторы, так и внутренние сопротивления самих источников. |
6. Получаем равенство.
|
Мощность трехфазной цепи.
При неравномерной нагрузке фаз активная мощность Р трехфазной системы равна сумме мощностей отдельных ее фаз:
При равномерной нагрузке трехфазной системы активные мощности Рф всех трех фаз равны, поэтому активная мощность трехфазной системы
где ? — угол сдвига фаз между фазным током и фазным напряжением.
Активную мощность можно выразить также через линейные ток Iл и напряжение Uл. Учитывая зависимости между фазными и линейными токами и напряжениями для схем «звезда» и «треугольник» при равномерной нагрузке фаз, имеем:
Аналогично могут быть получены формулы для реактивной и полной мощностей при равномерной нагрузке фаз:
Электрическая цепь и её элементы. Электрическая схема, понятия: ветвь, узел, контур.
Электрическая цепь – совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятии об электродвижущей силе, токе и напряжении.
Простейшая электрическая установка состоит из источника (гальванического элемента, аккумулятора, генератора и т. п.), потребителей или приемников электрической энергии (ламп накаливания, электронагревательных приборов, электродвигателей и т. п.) и соединительных проводов, соединяющих зажимы источника напряжения с зажимами потребителя. Т.е. электрическая цепь – совокупность соединенных между собой источников электрической энергии, приемников и соединяющих их проводов (линия передачи).
Электрическая цепь делится на внутреннюю и внешнюю части. К внутренней части электрической цепи относится сам источник электрической энергии. Во внешнюю часть цепи входят соединительные провода, потребители, рубильники, выключатели, электроизмерительные приборы, т. е. все то, что присоединено к зажимам источника электрической энергии.
Узел. Узел – это точка электрической цепи, где сходится не менее трех ветвей. Узел обозначается на схеме жирной точкой ( ) в том месте, где ветви соединяются между собой. В качестве примера на рис. 19 показаны узлы A,B,C. Узлы в схеме, показанной на рис. 20, определите самостоятельно.
Ветвь. Ветвь – это участок электрической цепи с последовательным соединением элементов, расположенный между двумя узлами. Подчеркнем, что именно споследовательным соединением элементов. Например на рис. 19 участок цепи между узлами А и В является ветвью. Ветвью является и участок цепи между узлами В иС. А вот участок цепи между узлами А и С ветвью не является. Сами подумайте почему. В схеме, показанной на рис. 20, имеется 6 ветвей. Определите их самостоятельно.
Контур. Контуром называют любой замкнутый участок электрической цепи. Особо следует выделить понятие «независимый контур». Независимый контур – это контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие контуры.
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы
Электрическая цепь: контур, схема, расчет, разветвленные и линейные цепи
Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит э. д. с., изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В ряде устройств электромагнитная энергия преобразуестся и в другие
Виды энергии (в механическую, химическую и т. д.) часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какого-либо участка, с которым не бцли бы связаны эти явления.
Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь посюянного тока, заменяют схемой замещения или, короче, просто схемой, составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений.
К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся сопротивление , собственная индуктивность или короче индуктивность L и емкость С. Их условные обозначения показаны на рис. 3-6, а, б, в.
Наименования элементов схемы совпадают с наименованиями параметров цепи, которые эти элементы характеризуют.
Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается, как взаимная индуктивность М между индуктивностями на схеме (рис. 3-6, г). Таким образом, взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.
В этом разделе рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности и емкости которых не зависят от тока или напряжения.
В сопротивлении электромагнитная энергия преобразуется в тепло. Мощность преобразования энергии в тепло равна Сопротивления часто вводят в схему также и для учета преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии.
Напряжение между зажимами сопротивления и ток в сопротивлении (рис. 3-6, а) связаны законом Ома:
Элемент схемы — индуктивность L (рис 3-6, б) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. При изменении тока в индуктивности возникает э. д. с. самоиндукции По закону Ленца она препятствует изменению тока. Поэтому при выборе положительных направлений для тока i и э. д. с. одинаковыми (как это обычно принято делать) знаки противоположны и Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее зажимах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной э. д. с. При одинаковых положительных направлениях напряжения и э. д. с. они противоположны по знаку;
(элементы цепи и элементы схемы, обладающие взаимной индуктивностью, рассматриваются в гл. 6).
Элемент схемы — емкость С (рис. 3-6, в) учитывает энергию электрического поля. На электродах емкости заряды равны и противоположны по знаку: причем
Для указанных на рис. 3-6, в положительных направлений тока i и напряжения на емкости заряд и напряжение имеют одинаковые знаки, т. е.
Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах, и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда Действительно, приросту заряда соответствует положительное значение тока, убыли заряда — отрицательное значение тока. Поэтому, обозначая можем написать:
Расчетная схема зависит от частоты переменного тока. Так, при достаточно низкой частоте резистор может быть представлен сопротивлением, индуктивная катушка — последовательным соединением индуктивности и сопротивления, а конденсатор при хорошей изоляции между электродами — емкостью.
С ростом частоты, как будет показано в следующих параграфах, увеличиваются э. д. с., обусловленные индуктивностями, и токи, обусловленные емкостями. Поэтому при высоких частотах приходится учитывать индуктивность проволочных резисторов и межвитковую емкость катушек. Кроме того, с увеличением частоты растут потери в изоляции конденсаторов. Для учета всех этих явлений приходится резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы заменять более сложными схемами (подробнее см. § 3-21 и 3-22).
При высоких частотах приходится также учитывать емкости между проводами, соединяющими различные элементы реальной электрической цепи, и вводить их в расчетную схему.
В тех случаях, когда схема получается с ограниченным (конечным) числом элементов, говорят, что реальная цепь рассматривается как цепь с сосредоточенными параметрами. В тех же случаях, когда приходится пользоваться схемой, содержащей неограниченно большое (бесконечное) число элементов, говорят, что цепь рассматривается как цепь с распределенными параметрами.
Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам для переменных токов и напряжений законов Кирхгофа,
На проводах и в узлах схемы не могут накапливаться заряды (единственными накопителями зарядов являются емкости). Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма мгновенных токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю.
Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками A и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 3-7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения. Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути от второго вольтметра — по пути
Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура равно э. д. с., индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:
Заметим, что знак минус перед ставится в том случае, когда положительное направление магнитного потока и положительное направление э. д. с. (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано от читателя за плоскость чертежа.
Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим:
Следовательно, напряжения между двумя точками, определенные вдоль двух различных путей, отличаются друг от друга на э. д. с., индуктированную в замкнутом контуре, образованном этими двумя путями.
Напряжения, определяемые вдоль различных путей, будут одинаковы только в том случае, если замкнутые контуры, образованные этими путями, не пронизываются переменным магнитным потоком.
В расчетной схеме напряжения между различными ее точками от пути не зависят, а зависят только от свойств ее элементов. Так, напряжения на зажимах элементов схемы и С связаны с током приведенными выше соотношениями (3-8) — (3-11) вне зависимости от путей (взятых вне элементов), по которым эти напряжения определяются. Поэтому точки схемыпеременного тока можно, также как и точки цепи постоянного тока, характеризовать потенциалами, а
напряжения рассматривать как разности потенциалов. Имея это в виду, говорят, что расчетные схемы или идеализированные цепи потенциальны. Изменение потенциала по любому замкнутому контуру такой цепи равно нулю. Поэтому справедлива следующая формулировка второго закона Кирхгофа:
Алгебраическая сумма мгновенных э. д. с. всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю.
В этом разделе рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными э. д. с. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты э. д. с. всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем.
Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех переключений в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальны и изменяются с той же частотой, что и э. д. с. источников энергии.
Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.
После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и э. д. с.:
Алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных э. д. с. всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура или, иначе, алгебраическая сумма комплексных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю.